Temas Variados / Transformaciones Lineales.

Transformaciones Lineales.

Ensayos: Transformaciones Lineales.

Enviado por:  Maxi  08 junio 2011
Tags: 
Palabras: 1597   |   Páginas: 7
Views: 1600

Unidad 5

Temario

Tema 1) Introducción a las transformaciones Lineales.

Tema 2) Núcleo e imagen de una Transformación Lineal.

Tema 3) La matriz de una Transformación Lineal.

Tema 4) Aplicación de las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción y Rotación.

Introduccion a las Transformaciones Lineales.

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función

tal que:

i)

,

.

ii)

,

,

.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si

es una transformación lineal, entonces

.

En efecto

. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii)

es lineal si y solo si

,

,

.

Si T lineal, entonces

. Inversamente, supongamos que

,

,

. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a)

.

b)

Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii)

es lineal si y solo si

,

.

La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si

, entonces

, por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para

:

Por la condición (i) de T, tenemos que,

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo 1.

Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

, y por otro l...



Suscríbase a EnsayosGratis

Suscríbase a EnsayosGratis - 30.000 Ensayos y Trabajos


closeAcceso
Introduzca su nombre de usuario y contraseña
Nombre de usuario:
Contraseña:
¿Ha olvidado su contraseña?